Question

（2013•達州）已知反比例函數y=

k1

3x

的圖象與一次函數y=k₂x+m的圖象交于A（-1，a）、B（

1

3

，-3）兩點，連結AO．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）設點C在y軸上，且與點A、O構成等腰三角形，請直接寫出點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點A（-1，a）、B（

1

3

，-3）代入反比例函數y=

k1

3x

中得：-3×

1

3

=（-1）×a=k₁，可求k₁、a；再將點A（-1，a）、B（

1

3

，-3）代入y₂=k₂x+m中，列方程組求k₂、m即可；
（2）分三種情況：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；討論可得點C的坐標．

解答：解：（1）∵反比例函數y=

k1

3x

的圖象經過B（

1

3

，-3），
∴k₁=3×

1

3

×（-3）=-3，
∵反比例函數y=

k1

3x

的圖象經過點A（-1，a），
∴a=1．
由直線y₂=k₂x+m過點A，B得：

-k2+m=1 1 3 k2+m=-3

，
解得

k2=-3 m=-2

．
∴反比例函數關系式為y=-

1

x

，一次函數關系式為y=-3x-2；

（2）點C在y軸上，且與點A、O構成等腰三角形，點C的坐標為：（0，-

2

）或（0，

2

）或（0，2）或（0，1）．

如圖，線段OA的垂直平分線與y軸的交點，有1個；
以點A為圓心、AO長為半徑的圓與y軸的交點，有1個；
以點O為圓心、OA長為半徑的圓與y軸的交點，有2個．
以上四個點為所求．

點評：此題綜合考查了待定系數法求函數解析式的方法、等腰三角形的性質等知識，注意分類思想的運用．