Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D在拋物線的對稱軸上，且四邊形ABDC為平行四邊形．

（1）求此拋物線的對稱軸，并確定此二次函數的表達式；

（2）點E為x軸下方拋物線上一點，若△ODE的面積為12，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為M，點P是拋物線的對稱軸上一動點，連接PE、EM，過點P作PE的垂線交拋物線于點Q，當∠PQE＝∠EMP時，求點Q到拋物線的對稱軸的距離．

Answer 1

【答案】（1）x＝4，y＝x2﹣4x+6；（2）(3，-)；（3）4或2+

【解析】

（1）先求出對稱軸為x＝4，進而求出AB＝4，進而求出點A，B坐標，即可得出結論；

（2）根據E點在拋物線y＝x2﹣4x+6上，設E（m，m2﹣4m+6），作EN⊥y軸于N，利用面積的和差：S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE建立方程求解，即可得出結論；

（3）①當點Q在對稱軸右側時，先判斷出點E，M，Q，P四點共圓，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判斷出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝＝2，得出HG＝HM＝1，進而求出Q（8，6），得出結論；

②當點Q在對稱軸左側時，先判斷出△PDQ∽△EFP，得出，進而判斷出DP＝，PF＝2QD，即可得出結論．

解：（1）對稱軸為直線x＝﹣，則CD＝4，

∵四邊形ABDC為平行四邊形，

∴DC∥AB，DC＝AB，

∴DC＝AB＝4，

∴A（2，0），B（6，0），

把點 A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，

∴二次函數解析式為y＝x2﹣4x+6；

（2）如圖1，設E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y軸于N，

∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，

∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，

化簡得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），

∴點E的坐標為（3，﹣）；

（3）①當點Q在對稱軸右側時，如圖2，

過點E作EF⊥PM于F，MQ交x軸于G，

∵∠PQE＝∠PME，

∴點E，M，Q，P四點共圓，

∵PE⊥PQ，

∴∠EPQ＝90°，

∴∠EMQ＝90°，

∴∠EMF+∠HMG＝90°，

∵∠HMG+∠HGM＝90°，

∴∠EMF＝∠HGM，

在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，

∴tan∠HGM＝2，

∴，

∴HG＝HM＝1，

∴點G（5，0），

∵M（4，﹣2），

∴直線MG的解析式為y＝2x﹣10①，

∵二次函數解析式為y＝x2﹣4x+6②，

聯立①②解得，（舍）或，

∴Q（8，6），

∴點Q到對稱軸的距離為8﹣4＝4；

②當點Q在對稱軸左側時，如圖3，

過點E作EF⊥PM于F，過點Q作QD⊥PM于D，

∴∠DQP+∠QPD＝90°，

∵∠EPQ＝90°，

∴∠DPQ+∠FPE＝90°，

∴∠DQP＝∠FPE，

∵∠PDQ＝∠EFP，

∴△PDQ∽△EFP，

∴，

由①知，tan∠PQE＝＝2，

∵EF＝1，

∴＝，

∴DP＝，PF＝2QD，

設Q（n，n2﹣4n+6），

∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，

∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，

∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），

∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，

∴DQ＝4﹣n＝2+，

即點Q到對稱軸的距離為4或2+．