Question

（2004•棗莊）如圖，函數y=ax²+bx+c（其中a，b，c為常數）的圖象分別與x軸，y軸交于A，B，C三點，M為拋物線的頂點，且AC⊥BC，OA＜OB．
（1）試確定a，b，c的符號；
（2）求證：b²-4ac＞4；
（3）當b=2時，M點與經過A，B，C三點的圓的位置關系如何？證明你的結論．注：y=ax²+bx+c的對稱軸為，頂點為．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，首先可以確定的是c＞0．由于拋物線與x軸的兩交點在原點兩側，如果設（x₁，0），B（x₂，0）的話，那么根據x₁x₂=＜0，由此可確定a的符號．由于拋物線對稱軸在y軸右側，因此拋物線的對稱軸方程大于0，據此可求出b的符號；
（2）根據圓周角定理，可得出∠ACB=90°，在直角三角形ACB中，根據射影定理可得出OC²=OA•OB，即c²=-x₁x₂=-，由此可得出ac=-1，代入b²-4ac中即可得出證的條件；
（3）將b的值代入拋物線的解析式中，表示出M點和圓心的坐標，進而可求出圓的半徑，然后比較圓的半徑和M點縱坐標的大小關系即可．
解答：解：（1）∵拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，
∴c＞0，x₁x₂=＜0，a＜0，
由于拋物線對稱軸在y軸右側，
因此拋物線的對稱軸方程大于0，
即-＞0，b＞0．
∴a＜0，b＞0，c＞0；

（2）設A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∵AC⊥CB，且C點坐標為（0，c），
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴，
即x₁x₂=-c²=，
∴ac=-1，
∴b²-4ac=b²+4＞4；

（3）M點在經過A，B，C三點的圓外，
理由如下：當b=2時，，=，
∵AC⊥CB，
∴經過A，B，C三點的圓的圓心為AB的中點D（-，0），
半徑為DC====-，
又∵M點的坐標為（-，-），且a＜0，
∴DM=-＞-=DC，
∴M點在經過A，B，C三點的圓外．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理的應用以及點與圓的位置關系等知識．