Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．

（1）當AB=2時，求GC的長；

（2）求證：AE=EF．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

試題（1）由△ABE∽△ECG，得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC的長即可求得S△GEC；

（2）取AB的中點H，連接EH，利用ASA證明△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；

試題解析：（1）∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=ECCG=×1×=；

（2）取AB的中點H，連接EH，∵ABCD是正方形，AE⊥EF，∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；