Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．

(1)直接填空：∠BAD=______°.

(2)點P在CD上，連結AP，AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，AM、AN分別與射線BP交于點M、N．設∠DAM=α°．

①求∠BAN的度數(用含α的代數式表示)．

②若AN⊥BM，試探究∠AMB的度數是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用α的代數式表示它．

Answer 1

【答案】(1)90；(2)①∠BAN=(45-α)°；②∠AMB=45°.

【解析】

(1)依據平行線的性質，即可得到∠BAD的度數；

(2)①根據AM平分∠DAP，∠DAM=α°，即可得到∠BAP=(90-2α)°，再根據AN平分∠PAB，即可得到∠BAN=(90-2α)°=(45-α)°；

②根據AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，即可得出∠MAN=∠MAP+∠PAN=45°，再根據AN⊥BM，即可得到∠AMB的度數為定值．

解：(1)∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=180°-90°=90°．

故答案為：90；

(2)①∵AM平分∠DAP，∠DAM=α°，

∴∠DAP=2α°，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAP=(90-2α)°，

∵AN平分∠PAB，

∴∠BAN=(90-2α)°=(45-α)°；

②∵AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，

∴∠PAM=∠PAD，∠PAN=∠PAB，

∴∠MAN=∠MAP+∠PAN=∠PAD+∠∠PAB=90°=45°，

∵AN⊥BM，

∴∠ANM=90°，

∴∠AMB=180°-90°-45°=45°．