Question

【題目】我們知道，如果兩個三角形全等，則它們面積相等，而兩個不全等的三角形，在某些情況下，可通過證明等底等高來說明它們的面積相等．已知△ABC與△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE．

（1）如圖1，當∠BCE=90°時，求證：S△ACD=S△BCE；
（2）如圖2，當0°＜∠BCE＜90°時，上述結論是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．
（3）如圖3，在（2）的基礎上，作CF⊥BE，延長FC交AD于點G，求證：點G為AD中點．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC與△DEC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE

∵∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴S△ACE=S△BCE

（2）證明：作AG垂直DC的延長線于點G，作BH⊥CE，垂足為H，

∵∠ACB=∠GCE=90°，

∴∠ACG=∠BCH，

在△ACG與△BCF中，

，

∴△ACG≌△BCH（AAS）

∴AG=BH

∵CD=CE

∴ CDAG= CEBH，

即S△ACE=S△BCE

（3）證明：作AM垂直CG的延長線于點M，作DN⊥CG，垂足為N，

∴∠ACB=90，∠BFC=90°，

∴∠ACM+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，

∴∠ACM=∠CBF，

在△ACM與△BCF中，

，

∴△ACM≌△CBF（AAS），

∴AM=CF，

同理可證△DCN≌△CEF，

∴DN=CF，

∴AM=DN，

又∵∠AMG=∠DNG，

∴∠AGM=∠DGN，

在△AMG與△DNG中，

，

∴△AMG≌△DNG（AAS），

∴AG=DG，

即G為AD中點，

【解析】（1）根據△ABC與△DEC是等腰直角三角形，得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE由∠BCE=90°，證得∠ACE=∠BCE，推出△ACD≌△BCE，從而證得結論S△ACE=S△BCE；（2）作AG垂直DC的延長線于點G，作BH⊥CE，垂足為H，由于∠ACB=∠GCE=90°，得到∠ACG=∠BCH，推出△ACG≌△BCH，得出AG=BH，由于CD=CE，于是得到結果即S△ACE=S△BCE；（3）作AM垂直CG的延長線于點M，作DN⊥CG，垂足為N，證得△ACM≌△CBF，得到AM=CF，同理可證△DCN≌△CEF，得到DN=CF，AM=DN，推出△AMG≌△DNG，得到AG=DG，即G為AD中點．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能正確解答此題．