Question

【題目】（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：

①旋轉角是____度；

②線段OD的長為_____；

③求∠BDC的度數．

（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內一點，連接OA、OB、OC，∠A0B=135，OA=1，0B=2，求0C的長.

小明同學借用了圖1的方法，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，請你繼續用小明的思路解答，或是選擇自己的方法求解.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②4；③∠BDC=150°；（2）OC=3．

【解析】試題分析：

（1）①由題意可知旋轉角是∠ABC結合△ABC是等邊三角形可得旋轉角為60°；

②由旋轉的性質可知BD=BO，∠OBD=60°，由此可得△OBD是等邊三角形，從而可得OD=OB=4；

③由旋轉的性質可得CD=OA=3，結合OC=5，OD=4可證得△ODC是直角三角形，∠ODC=90°，結合△OBD是等邊三角形可得∠BDC=150°；

（2）由旋轉的性質易得BD=BO=2，∠DBO=∠CBA=90°，∠BDC=∠BOA=135°，CD=AO=1，由此可得△DBO是等腰直角三角形，從而可得∠BDO=45°，則∠ODC=90°，這樣在Rt△ODC中，由勾股定理即可求得OC的長了.

試題解析：

（1）①由題意可知，旋轉角是∠ABC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∴旋轉角的度數為60°；

②由旋轉的性質可知BD=BO，∠OBD=60°，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OD=OB=4；

③∵△BOD為等邊三角形，

∴∠BDO=60°，OD=4

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵CD2+OD2=32+42=52=OC2，

∴△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

（2）OC=3．

理由如下：

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD=2，CD=AO=1，

∴△OBD為等腰直角三角形，

∴∠BDO=45°，OD=OB=2，

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠AOB=∠BDC=135°，

∴∠ODC=90°，

∴CD2+OD2=OC2，

∴OC=3．