Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD與點O，某學生在研究這一問題時，發現了如下事實，
①當

AE

AC

=

1

2

=

1

1+1

時，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

(如圖1)；
②當

AE

AC

=

1

3

=

1

1+2

時，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

(如圖2)；
③

AE

AC

=

1

4

=

1

1+3

時，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

(如圖3)；
如圖4中，當

AE

AC

=

1

1+n

時，請你猜想

AO

AD

的一般結論，并證明你的結論（其中n為正整數）．

Answer 1

分析：過D作DF∥BE，即求AO：AD=AE：AF，因為

AE

AC

=

1

1+n

，可以根據平行線分線段成比例，及線段相互間的關系即可得出AE：AF=2：（n+2），即

AO

AD

=

2

n+2

．

解答：解：猜想

AO

AD

=

2

n+2

．
證明：過D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF．
∵D為BC邊的中點，
∴CF=EF=

1

2

EC．
∵

AE

AC

=

1

1+n

，
∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．
∴AE：EF=2：n．
∴AE：AF=2：（n+2），即

AO

AD

=

2

n+2

．

點評：本題考查平行線分線段定理及其應用，有一定難度，注意D為BC邊的中點的運用．