Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試指出△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)？并請(qǐng)求出其中某一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），

把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，

a=1，

∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6

（2）

解：存在，

如圖1，分別過(guò)P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，

設(shè)P（m，m2﹣5m﹣6），四邊形PACB的面積為S，

則PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC

= （﹣m2+5m+6）（m+1）+ （6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+ ×1×6

=﹣3m2+12m+36

=﹣3（m﹣2）2+48，

當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值為48，這時(shí)m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，

∴P（2，﹣12）

（3）

解：這樣的Q點(diǎn)一共有5個(gè)，連接Q3A、Q3B，

y=x2﹣5x﹣6=（x﹣ ）2﹣ ；

因?yàn)镼3在對(duì)稱軸上，所以設(shè)Q3（ ，y），

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+6）2，

y=﹣ ，

∴Q3（ ，﹣ ）

【解析】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函數(shù)的解析式；（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個(gè)圖形，兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形，設(shè)P（m，m2﹣5m﹣6），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)二次函數(shù)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求極值，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）分三種情況畫(huà)圖：①以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，交對(duì)稱軸于Q1和Q4 ， 有兩個(gè)符合條件的Q1和Q4；②以B為圓心，以BA為半徑畫(huà)弧，也有兩個(gè)符合條件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分線交對(duì)稱軸于一點(diǎn)Q3 ， 有一個(gè)符合條件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐標(biāo)．本題考查了利用待定系數(shù)法求解析式，還考查了多邊形的面積，要注意將多邊形分解成幾個(gè)圖形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．同時(shí)還結(jié)合了拋物線圖形考查了等腰三角形的一些性質(zhì)，注意由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)組成的等腰三角形三種情況的討論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）即可以解答此題．