Question

如圖，銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D和E，AP∥BC且與BE的延長線交于點P，又邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-x+

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4

（4m²-4m+2）=0的兩個根．
（1）求證：△APF∽△DBF
（2）求證：一元二次方程x²-x+

1

4

（4m²-4m+2）=0有兩個相等的實數根，并解這個方程．
（3）若AF：FD=2，那么四邊形ABCP是否是菱形？若是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行線性質得出∠APF=∠FBD，∠PAF=∠BDF，根據相似三角形的判定定理推出即可；
（2）求出△=-（2m-1）²≥0，根據一個數的平方的非負性得出-（2m-1）²=0，即△=0，得出方程有兩個相等的實數根，代入求出方程的解即可；
（3）根據等腰三角形性質求出BC=2BD，根據△APF和△DBF相似得出比例式求出AP=2BD，推出BC=AP，得出平行四邊形ABCP，根據菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵AP∥BC，
∴∠APF=∠FBD，∠PAF=∠BDF，
∴△APF∽△DBF；

（2）證明：△=（-1）²-4×1×

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4

（4m²-4m+2）
=-4m²+4m-1
=-（2m-1）²，
∵方程有根，
∴-（2m-1）²≥0，
∴2m-1=0，
解得：m=

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2

，
即△=0，
∴一元二次方程x²-x+

1

4

（4m²-4m+2）=0有兩個相等的實數根，
把m=

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2

代入方程得：x²-x+

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4

=0，
解得：x₁=x₂=

1

2

；

（3）解：四邊形ABCP是菱形，
理由是：∵邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-x+

1

4

（4m²-4m+2）=0的兩個根．
∴AB=AC=

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2

，
∵AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵△APF∽△DBF，AF：DF=2，
∴

AP

BD

=

AF

FD

=2，
∴AP=2BD，
∴AP=BC，
∵AP∥BC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∵BE⊥AC，
∴平行四邊形ABCP是菱形．

點評：本題考查的知識點有相似三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定、平行線的性質、平行四邊形的判定、菱形的判定、根的判別式、解一元二次方程等，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．