Question

（2013•河南模擬）如圖1，△ABC和△DEC是兩個(gè)完全重合在一起的等腰直角三角形．現(xiàn)將△ABC固定，將△DEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜135°），過點(diǎn)D作DF∥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF、BD．
（1）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，四邊形ABDF的形狀為

平行四邊形

；
（2）如圖3，當(dāng)0°＜α≤135°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；
（3）若AB=1，當(dāng)α從45°變化到135°的過程中，線段DF掃過區(qū)域的面積是多少？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出AB=DF，進(jìn)而利用平行四邊形的判定得出即可；
（2）利用已知首先得出∠DEF+∠BEC=90°，進(jìn)而求出∠DEF=∠DFE，即可得出DF=AB，進(jìn)而得出答案；
（3）分別根據(jù)當(dāng)α=135°時(shí)，當(dāng)α=45°時(shí)，得出當(dāng)α從45°變化到135°的過程中，DF始終和AB平行且相等，則DF掃過區(qū)域的面積可利用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成矩形OCD′F′的面積，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)α=90°時(shí)，如圖2所示：
∵△ABC和△DEC是兩個(gè)完全重合在一起的等腰直角三角形，
∴AB∥EC，BC=EC，
∴∠DEF=∠BEC=45°，
∴DF=DE，
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF的形狀為平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，
理由：∵DF∥AB，
∴∠ABF=∠DFE，
∵∠CED=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°，
又∵CB=CE，
∴∠EBC=∠BEC，
又∵∠EBC+∠ABF=90°，
∴∠DEF=∠ABF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
又∵DE=AB，
∴DF=AB，
又∵DF∥AB，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（3）如圖，當(dāng)α=135°時(shí)，D、E、F分別落到D′、E′、F′的位置，B、C、D′三點(diǎn)共線，
此時(shí)平行四邊形ABD′F′是矩形；
當(dāng)α=45°時(shí)，由題意知此時(shí)F、D、C三點(diǎn)共線，設(shè)CD與AF′交于點(diǎn)O，則四邊形OCD′F′是矩形；
∵當(dāng)α從45°變化到135°的過程中，DF始終和AB平行且相等，
則DF掃過區(qū)域的面積可利用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成矩形OCD′F′的面積，
由題意知D′C=AC=

2

AB=

2

，此時(shí)矩形OCD′F′的面積為：CD′×D′F′=

2

，
故DF掃過的面積為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換綜合以及平行四邊形的判定和圖形的旋轉(zhuǎn)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出四邊形形狀是解題關(guān)鍵．