Question

【題目】問題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F．請按圖示數據填空：△EFC的面積__________，△ADE的面積______________．

探究發現（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE與BC間的距離為．請證明．

拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為3、7、5，試利用（2）中的結論求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）9，1；（2）證明見解析；（3）27．

【解析】

試題分析：本題利用了平行四邊形、三角形的面積公式，還利用了平行四邊形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理的推論、全等三角形的判定和性質等知識.

（1）四邊形DBFE是平行四邊形，利用底×高可求面積；△EFC的面積利用底×高的一半計算；△ADE的面積，可以先過點A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求AG，再利用三角形的面積公式計算即可；

（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四邊形DBFE是，同時，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，從而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得S1：S2=a2：b2，由于S1=bh，那么可求S2，從而易求4S1S2，又S=ah，容易證出結論；

（3）過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，容易證出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面積等于8，再利用（2）中的結論，可求DBHG的面積，從而可求△ABC的面積.

試題解析：（1）S1=9，S2=1；

（2）如圖1，

∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四邊形DBFE為平行四邊形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，

∴△ADE∽△EFC，

∴=（）2=，

∵S1=bh，

∴S2=×S1=，

∴4S1S2=4×bh×=（ah）2，

而S=ah，

∴S2=4S1S2；

（3）如圖2，過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，

,∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴DG=EF，

∴BH=EF，

∴BE=HF，

∴△DBE≌△GHF，

∴△GHC的面積為7+5=12，

由（2）得，平行四邊形DBHG的面積S為=12，

∴△ABC的面積為3+12+12=27．