Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，若點滿足，，那么稱點是點，的融合點.

例如：，，當點滿是，時，則點是點，的融合點，

（1）已知點，，，請說明其中一個點是另外兩個點的融合點.

（2）如圖，點，點是直線上任意一點，點是點，的融合點.

①試確定與的關系式.

②若直線交軸于點，當為直角三角形時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）點是點，的融合點；（2）①，②符合題意的點為， .

【解析】

（1）由題中融合點的定義即可求得答案.

（2）①由題中融合點的定義可得，.

②結合題意分三種情況討論：（ⅰ）時，畫出圖形，由融合點的定義求得點坐標；（ⅱ）時，畫出圖形，由融合點的定義求得點坐標；（ⅲ）時，由題意知此種情況不存在.

（1）解：，

∴點是點，的融合點

（2）解：①由融合點定義知，得．

又∵，得

∴，化簡得．

②要使為直角三角形，可分三種情況討論：

（i）當時，如圖1所示，

設，則點為．

由點是點，的融合點，

可得或，

解得，∴點．

（ii）當時，如圖2所示，

則點為．

由點是點，的融合點，

可得點．

（iii）當時，該情況不存在．

綜上所述，符合題意的點為，