Question

已知如圖，D是邊長為4的正△ABC的邊BC上一點，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，設DF=x．
（1）求△EDF的面積y與x的函數關系式和自變量x的取值范圍．
（2）當x為何值時，△EDF的面積最大，最大面積是多少？
（3）若△DCF與由E、F、D三點組成的三角形相似，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）判斷出△BDE和△DEF的形狀，利用60°的正弦值用DF表示出DC，進而得到BD，DE，利用三角形的面積公式求得函數關系式．
（2）由相似得到△DEF是含30°的直角三角形，可利用所給的2個特殊的直角三角形都用BD表示出DF的長度，然后即可求得BD長．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，且ED∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴△BDE是等邊三角形，∠FDC=30°，
∴CD=DF÷sin60°=

2 3

3

x．
∠EDF=90°，
BD=BC-CD=ED=4-

2 3

3

x．
y=DF×ED÷2=

1

2

x（4-

2 3

3

x）=-

3

3

x²+2x，
∵D在BC上，
∴CD＜4，
當CD=4時，CF=2，DF=2

3

，
DF≤2

3

（等于2

3

時，D和B重合）
∴自變量x的取值范圍0≤x≤2

3

．

（2）∵y=-

3

3

x²+2x，
=-

3

3

（x-

3

）²+

3

，
∴當x=

3

，△EDF的面積最大．
最大面積是=

3

．

（3）當△DCF∽△EFD，
∴∠FED=∠FDC=30°．
∴DF=

3

3

DE=

3

3

BD．
∵DC=4-BD，∠C=60°，
∴DF=

3

2

CD=

4 3 - 3 BD

2

，
∴

3

3

BD=

4 3 - 3 BD

2

．
解得：BD=2.4．
當△DCF∽△FED，
同理可得：BD=

4

3

，
∴BD=

4

3

或2.4．

點評：考查特殊三角形的判斷以及特殊三角函數值的充分運用．