Question

【題目】數學活動課上，某學習小組對有一內角（∠BAD）為120°的平行四邊形ABCD，將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F（不包括線段的端點）．
（1）初步嘗試
如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
（2）類比發現
如圖2，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；
（3）深入探究：在（2）的條件下，學習小組某成員探究發現AE+2AF= AC，試判斷結論是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

①證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠BCF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF．

②如圖1中，

∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

∴AE+AF=AC．

（2）

證明：如圖2中，

設DH=x，由題意CD=2x，CH= x．

∴AD=2AB=4x，AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC= =2 x，

∴AC2+CD2=16x2，AD2=16x2，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°=∠ACH，

∴∠HCF=∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴ = =2，

∴AE=2FH．

（3）

結論正確．

理由：如圖2中，由（2）可知，設FH=α，則AE=2a，設AH=x，則AH=3x，

易知AC=2 x，

∴AF=3x﹣a，

∴AE+2AF=2a+2（3x﹣a）=6x= AC．

【解析】（1）①首先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，根據ASA即可證明．②利用①中結論，即可證明．（2）首先利用勾股定理逆定理證明△ACD是直角三角形，再證明△ACE∽△HCF，即可推出 = =2．（3）利用代數法證明，如圖2中，由（2）可知，設FH=α，則AE=2a，設AH=x，則AH=3x，易知AC=2 x，AF=3x﹣a，即可得出AE+2AF=2a+2（3x﹣a）=6x= AC．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．