Question

甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數量的紙牌中取牌．規定每人最多兩種取法，甲每次取4張或（4﹣k）張，乙每次取6張或（6﹣k）張（k是常數，0＜k＜4）．經統計，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6張牌，最終兩人所取牌的總張數恰好相等，那么紙牌最少有         張．

Answer 1

108

解：設甲a次取（4﹣k）張，乙b次取（6﹣k）張，則甲（15﹣a）次取4張，乙（17﹣b）次取6張，
則甲取牌（60﹣ka）張，乙取牌（102﹣kb）張
則總共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，
從而要使牌最少，則可使N最小，因為k為正數，函數為減函數，則可使（a+b）盡可能的大，
由題意得，a≤15，b≤16，
又最終兩人所取牌的總張數恰好相等，
故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a為整數，
則由整除的知識，可得k可為1，2，3，
①當k=1時，b﹣a=42，因為a≤15，b≤16，所以這種情況舍去；
②當k=2時，b﹣a=21，因為a≤15，b≤16，所以這種情況舍去；
③當k=3時，b﹣a=14，此時可以符合題意，
綜上可得：要保證a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，
則可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；
當b=16，a=2時，a+b最大，a+b=18，
繼而可確定k=3，（a+b）=18，
所以N=﹣3×18+162=108張．