Question

如圖，點A在x軸的負半軸上，OA=4，AB=OB=

5

．將△ABO繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₁B₁O，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₂B₂O．拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過B、B₁兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點B₂是否在此拋物線上，請說明理由；
（3）在該拋物線上找一點P，使得△PBB₂是以BB₂為底的等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；
（4）在該拋物線上，是否存在兩點M、N，使得原點O是線段MN的中點？若存在，直接寫出這兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可先求出B點的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)不難得出B1的橫坐標(biāo)的就是B點的縱坐標(biāo)，而B₁的縱坐標(biāo)就是B的橫坐標(biāo)的絕對值，由此可求出B₁的坐標(biāo)，同理可求出B2的坐標(biāo)，然后將這B、B₁點的坐標(biāo)代入拋物線中，即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）求出的B2和拋物線的解析式即可判斷出B₂是否在拋物線上．
（3）已知了等腰三角形是以BB₂為底，因此P點必為BB2的垂直平分線與拋物線的交點，可先求出BB₂的垂直平分線的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出符合條件的P點的坐標(biāo)．
（4）由題意可知：M、N關(guān)于原點對稱，那么可設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為（x，y），（-x，-y），由于兩點都在拋物線上，因此可將兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出一個關(guān)于x、y的方程組，即可求出兩點的坐標(biāo)．

解答：解：
（1）過點B作BE⊥OA于點E，
∵AB=OB，
∴OE=

1

2

OA=2．
又OB=

5

，
∴BE=

OB2-OE2

=1．
∴B（-2，1）．（1）
∴B₁（1，2），B₂（2，-1）．
∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過B、B₁兩點，
∴

4a-2b+3=1 a+b+3=2

．
解得

a=- 2 3 b=- 1 3

．
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²-

1

3

x+3．

（2）∵當(dāng)x=2時，y=-

2

3

×2²-

1

3

×2+3=-

1

3

≠-1，
∴點B₂（2，-1）不在此拋物線上．

（3）點P應(yīng)在線段BB₂的垂直平分線上，由題意可知，OB₁⊥BB₂且平分BB₂，
∴點P在直線OB₁上．
可求得OB₁所在直線的解析式為y=2x．
又點P是直線y=2x與拋物線y=-

2

3

x²-

1

3

x+3的交點，
由

y=2x y=- 2 3 x2- 1 3 x+3

．
解得

x1=1 y1=2

，

x2=- 9 2 y2=-9

．
∴符合條件的點P有兩個，P₁（1，2），P₂（-

9

2

，-9）．

（4）存在．（-

3 2

2

，

2

2

）（

3 2

2

，-

2

2

）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的判定等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．