Question

【題目】（問題）

如圖1，在中，，過點作直線平行于．，點在直線上移動，角的一邊始終經過點，另一邊與交于點，研究和的數量關系．

（探究發現）

（1）如圖2，某數學興趣小組運用“從特殊到一般”的數學思想，發現當點移動到使點與點重合時，通過推理就可以得到，請寫出證明過程；

（數學思考）

（2）如圖3，若點是上的任意一點（不含端點），受（1）的啟發，這個小組過點作交于點，就可以證明，請完成證明過程；

（拓展引申）

（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點（不含端點），是射線上一點，且，連接與交于點，這個數學興趣小組經過多次取點反復進行實驗，發現點在某一位置時的值最大．若，請你直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】【探究發現】（1）見解析；【數學思考】（2）見解析；【拓展引申】（3）時，有最大值為2．

【解析】

根據等腰三角形的性質及平行的定義即可解得

根據證明即可推出

過點作交于點，連接，可證明，再推出即可得=，則.

證明：【探究發現】

（1）∵

∴

∵

∴，且

∴

∴

即

【數學思考】

（2）∵

∴

∴，

∵

∴，且，

∴

∴

【拓展引申】

（3）如圖4，過點作交于點，連接，

∵，

∴

∵

∴

∴

∴，且

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∵

∴點，點，點，點四點共圓，

∴

∴，且

∴

∴

∴

∴

∴時，有最大值為2．