Question

【題目】已知點(diǎn)C在線段BE上，分別以BC、CE為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形DCE，連接AE與CD相交于點(diǎn)N，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接OC、MN，則以下結(jié)論①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等邊三角形；⑤OC平分∠BOE；正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，即可求得∠ACD＝60°，所以∠ACE＝∠BCD＝120°，再利用SAS即可判定△ACE≌△BCD，由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝BD，所以①正確；由△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CAE＝∠CBD，再利用ASA證明△ACN≌△BCM，由全等三角形的性質(zhì)可得CN＝CM，又因∠MCN＝60°，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形為等邊三角形即可判定△CMN為等邊三角形，所以②④正確；由三角形外角的性質(zhì)可得∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，因?yàn)椤?/span>CAE＝∠CBD，即可得∠CBD＋∠AEC＝60°，從而求得∠BOE＝120°，所以③正確；由△ACE≌△BCD，可得△ACE的面積與△BCD的面積相等，BD=AE，根據(jù)三角形的面積公式可得△ACE邊AE上的高與△BCD邊BD上的高相等，即可得點(diǎn)C到OB、OE的距離相等， 根據(jù)角平分線的判定定理可得點(diǎn)C在∠BOE的平分線上，即OC平分∠BOE，所以⑤正確.

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACE＝∠BCD＝120°，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD；故①正確；

∵△ACE≌△BCD，

∴∠CAE＝∠CBD，

在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM（ASA），

∴CN＝CM，

而∠MCN＝60°，

∴△CMN為等邊三角形；故②④正確；

∵∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，

而∠CAE＝∠CBD，

∴∠CBD＋∠AEC＝60°，

∴∠BOE＝120°；故③正確；

∵△ACE≌△BCD，

∴△ACE的面積與△BCD的面積相等，

∵BD=AE,

∴△ACE邊AE上的高與△BCD邊BD上的高相等，

即點(diǎn)C到OB、OE的距離相等，

∴點(diǎn)C在∠BOE的平分線上，

即OC平分∠BOE，故⑤正確.

綜上，正確的結(jié)論為①②③④⑤，共5個(gè).

故選D.