Question

（2010•黔東南州）如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O分別交AB，AC于點F．點E，AD⊥BC于D，AD交于⊙O于M，交BE于H．
求證：DM²=DH•DA．

Answer 1

分析：首先利用相似三角形的判定得出△BDM∽△MDC，即可得出MD²=BD•CD，進而得出△BDH∽ADC，以及BD•CD=AD•DH，即可得出答案．

解答：證明：連接BM，CM，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BMC=∠BEC=90°，
∵MD⊥BC，
∴∠C+∠CMD=90°，
∵∠CMD+∠BMD=90°，
∴∠MCD=∠BMD，
∠MDC=∠MDB=90°，
∴△BDM∽△MDC，
∴

BD

MD

=

MD

CD

，
∴MD²=BD•CD，
∵∠AHE=∠BHD，∠AEH=∠HDB=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
∠BDH=∠ADC=90°，
∴△BDH∽△ADC，
∴

BD

AD

=

DH

DC

，
∴BD•CD=AD•DH，
∴DM²=DH•DA．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及圓周角定理等知識，根據已知得出△BDM∽△MDC，△BDH∽ADC進而得出比例式是解題關鍵．