Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點，且經(jīng)過，兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關(guān)于點對稱．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似．若有，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）有，或

【解析】

（1）已知拋物線過B、C兩點，而且兩點的坐標(biāo)都已得出，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式；

（2）由（1）可得拋物線頂點D（2，1），直線AC的解析式為y＝x＋3，由E是對稱軸與直線AC的交點，可得E點坐標(biāo)，由F與E關(guān)于點D對稱，可得F點坐標(biāo)，從點A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN，交對稱軸于M、N，通過證明Rt△FAM∽Rt△FCN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）在△FDC中，三內(nèi)角不等，且∠CDF為鈍角，分兩種情況：①若點P在點F下方時，②若點P在點F上方時，討論即可求解．

解：（1）將點，代入得

解得，，

所以拋物線的解析式為；

（2）∵

∴拋物線頂點，

當(dāng)x=0時，y=3，

∴A（0,3），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

把A，C坐標(biāo)代入得

解得

∴直線的解析式為，

由是對稱軸與直線的交點，

當(dāng)x=2時，=5

∴，

由與關(guān)于對稱，則，

從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線，交對稱軸于，

∴AM=2,MF=10,CN=3,NF=15,

在和中

∵，

所以，

所以；

（3）在中，三內(nèi)角不等，且為鈍角

①若點在點下方時，

在中，為鈍角

因為，，，

所以和不相等

所以，點在點下方時，兩三角形不能相似

②若點在點上方時， 由，

當(dāng)∽時，

設(shè)P（2,y）

∵A(0,3),F(2,-7),D（2，-1）C（5,8）

∴AF=，CF=，DF=6，PF=y+7

代入得，

解得y=-3

∴P（2，-3）；

當(dāng)∽時，

代入得

解得y=19

∴P；

綜上，點的坐標(biāo)為或．