Question

【題目】在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為 的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線l上，AB與AG在同一直線上．

（1）圖1中，小明發現DG=BE，請你幫他說明理由．
（2）小明將正方形ABCD按如圖2那樣繞點A旋轉一周，旋轉到當點C恰好落在直線l上時，請你直接寫出此時BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1， ∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，

∴AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE=90°．

在△DAG與△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE，

∴DG=BE；

（2）解：將正方形ABCD按如圖2那樣繞點A旋轉一周，旋轉到當點C恰好落在直線l上時，分兩種情況：

①如果C在EA的延長線上時，

如備用圖1，

連結BD交AC于O，

∵正方形ABCD邊長為 ，

∴BD=AC= AB=2，AC⊥BD，

∴OB=OA= BD=1．

∵正方形AEFG邊長為2，

∴OE=OA+AE=1+2=3．

在Rt△BOE中，∵∠BOE=90°，

∴BE= = = ；

②如果C在AE上時，

如備用圖2，

連結BD交AC于O，

∵正方形ABCD邊長為 ，

∴BC=AC= AB=2，

∵正方形AEFG邊長為2，

∴AE=2，

∴C與E重合，

∴BE=BC= ．

故所求BE的長為 或 ．

【解析】（1）由正方形的性質可判定△DAG≌△BAE，得出DG=BE；（2）C恰好落在直線l上分兩類：C在EA的延長線上；C在AE上時；可由勾股定理和正方形的性質求出.
【考點精析】本題主要考查了圖形的旋轉的相關知識點，需要掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素才能正確解答此題．