Question

【題目】我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形叫做奇異三角形．

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題?

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點（不與點A，B重合），D是半圓的中點，C，D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．

求證：△ACE是奇異三角形．

Answer 1

【答案】真；1：：；見解析．

【解析】

試題根據命題的逆命題定義得出命題的真假；根據直角三角形的性質以及奇異三角形的定義得出a、b、c之間的關系；根據Rt△ABC的性質得出a2＋b2＝c2,根據直徑可得：∠ACB=∠ADB=90°，從而得出AC2＋BC2=AD2＋BD2,根據弧的中點得出AD=BD，結合CB=CE，AE=AD得出答案．

試題解析：（1）真命題．

（2）在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2, ∵c＞b＞a＞0，∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2,

∴若△ABC是奇異三角形，一定有2b2=a2＋c2, ∴2b2=a2＋（a2＋b2 ）， ∴b2=2a2，b=a,

∵c2=b2＋a2=3a2，∴c=a ∴a: b: c＝1: : ．

（3）在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2, ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ACB中，AC2＋BC2=AB2 在Rt△ADB中，AD2＋BD2=AB2, ∴AC2＋BC2=AD2＋BD2,

∵D是半圓的中點，∴=,∴AD=BD ∴AC2＋BC2=2AD2又∵CB=CE，AE=AD，

∴AC2＋CE2=2AE2, ∴△ACE是奇異三角形