Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D分別在兩個(gè)半圓上（不與點(diǎn)A、B重合），AD、BD的長分別是關(guān)于x的方程＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求m的值；

（2）連接CD，試探索：AC、BC、CD三者之間的等量關(guān)系，并說明理由；

（3）若CD＝，求AC、BC的長．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）AC＋BC＝CD；(3) AC＝6，BC＝8或AC＝8，BC＝6．

【解析】試題分析:(1)根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得: ≥0,解得≤0,因?yàn)?/span>≥0,所以＝5,

(2)把(1) ＝5代入方程得, ,所以AD=BD, 將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△BDE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得: ∠DAC＋∠DBC＝180°,所以∠DBE＋∠DBC＝180°,可證△CDE為等腰直角三角形,所以AC＋BC＝CE=CD,

(3) 由(2)得,AC＋BC＝CD＝ 7＝14,由勾股定理可得: AC2＋BC2＝102＝100,

聯(lián)立可解得: AC＝6,BC＝8或AC＝8，BC＝6.

試題解析:（1）由題意,得　b2－4ac≥0,

∴≥0,

化簡(jiǎn)整理得,　 ≥0,

∴≤0，即≤0,

又∵≥0,

∴＝5,

（2）AC＋BC＝CD,

理由是:如圖,由(1)得,　當(dāng)m＝5時(shí), ,

∴ AD＝BD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB＝∠ADB＝90°,

將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△BDE,

∴△ADC≌△BDE,

∴∠DAC＝∠DBE,

∵∠DAC＋∠DBC＝180°,

∴∠DBE＋∠DBC＝180°,

∴點(diǎn)C,B,E三點(diǎn)共線,

∴△CDE為等腰直角三角形,

∴CE＝CD,

即AC＋BC＝CD,

(3)由(1)得,當(dāng)m＝5時(shí),b2－4ac,

∴ AD＝BD＝5,

∵∠ACB＝∠ADB＝90°,

∴AB＝10,

∴AC2＋BC2＝102＝100①,

由(2)得,AC＋BC＝CD＝ 7＝14②,

由①②解得AC＝6,BC＝8或AC＝8,BC＝6.