Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點A按順時針方向旋轉得△CDA，連接OD．當∠DOA=∠OBA時，直線CD的解析式為________

Answer 1

【答案】y=﹣ x+4

【解析】分析：由旋轉的性質得到三角形BOA與三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM與三角形AOB相似，確定出OD與AB垂直，再由OA=DA，利用三線合一得到AB為角平分線，M為OD中點，利用SAS得到三角形AOB與三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，進而確定出B，D，C三點共線，求出直線OD解析式，與直線AB解析式聯立求出M坐標，確定出D坐標，設直線CD解析式為y=mx+n，把B與D坐標代入求出m與n的值，即可確定出解析式．

詳解：

∵△BOA繞點A按順時針方向旋轉得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴∠AMO=∠AOB=90°，
∴OD⊥AB，
∵AO=AD，
∴∠OAM=∠DAM，
在△AOB和△ABD中，

∴△AOB≌△ABD（SAS），
∴OM=DM，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴B，D，C三點共線，
設直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標代入得：

解得：

∴直線AB解析式為y=- +4，
∴直線OD解析式為y=

則

解得：

則點M（），

∵M為線段OD的中點，

∴D（），

設直線CD解析式為y=mx+n，

把B與D坐標代入得：

解得：m=-，n=4，
則直線CD解析式為y=﹣ x+4.

故答案是：y=﹣ x+4.