Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（0，﹣6）、B（﹣2，0），與x軸的另一交點為點C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）將直線AC向下平移m個單位，使平移后的直線與拋物線有且只有一個公共點M，求m的值及點M的坐標；

（3）拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6；（2）m=,M（3，﹣）；（3）點P（2，﹣8），（﹣4，10），（1+，﹣5﹣），（1﹣，﹣5+）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求出二次函數的解析式；

（2）由直線向下平移m個單位得：y=x-6-m，由直線與拋物線有且只有一個公共點M可以知道：由解析式列方程組，根據△=0得出結論；

（3）分三種情況：

①當∠PAC=90°時，如圖1，由△EAC是等腰直角三角形，可得E（-6，0），直線AP與拋物線的交點就是P，列方程組可得P點的坐標；

②當∠ACP=90°時，如圖2，由PE=EC，列式：x2-2x-6=-x-6，解出即可；

③當∠APC=90°時，如圖3，畫圖，根據直徑所對的圓周角是直角，可知有兩個點符合，設出P點的坐標，然后根據AC2,PA2,PC2的值，由勾股定理可得關于P點橫、縱坐標的等量關系，聯立拋物線的解析式，即可求出此時點P的坐標.

試題解析：解：（1）把點A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣6；

（2）y=x2﹣2x﹣6，

當y=0時，x2﹣2x﹣6=0，

解得：x1=﹣2，x2=6，

∴C（6，0）；

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=x﹣6，

直線AC向下平移m個單位后的直線關系式為：y=x﹣6﹣m，

∵平移后的直線與拋物線有且只有一個公共點M，

則，

得： =0，

△=（﹣3）2﹣4×m=0，

m=，

代入得：y=x﹣6﹣m=x﹣，

則，

解得：，

∴M（3，﹣）；

（3）分三種情況：

①當∠PAC=90°時，如圖1，

∵OA=OC=6，∠AOC=90°，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∴△EAC是等腰直角三角形，

∴AE=AC，

∴OE=OC=6，

∴E（﹣6，0），

設AE：y=kx+b，

則，解得：，

∴直線AE的解析式為：y=﹣x﹣6，

則，

﹣2x﹣6=﹣x﹣6，

解得：x1=0（舍），x2=2，

∴P（2，﹣8），

②當∠ACP=90°時，如圖2，

∠PCB=90°﹣45°=45°，

過P作PE⊥BC于E，

∴△PEC是等腰直角三角形，

∴PE=EC，

設P（x， x2﹣2x﹣6），

∴PE=x2﹣2x﹣6，EC=﹣x﹣6，

∴x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6，

解得：x1=6，x2=﹣4，

∵P在第二象限，

∴x=6不符合題意，舍去，x=﹣4，

∴P（﹣4，10），

③以AC為直徑畫圓，交拋物線于兩點P1、P2，如圖3，

則∠AP1C=∠AP2C=90°，

∵=，

=，

AC2=62+62=72，

由勾股定理得： +=72，

化簡得：x3﹣8x2+8x+24=0，

x3﹣2x2﹣4x﹣（6x2﹣12x﹣24）=0，

x（x2﹣2x﹣4）﹣6（x2﹣2x﹣4）=0，

（x﹣6）（x2﹣2x﹣4）=0，

解得：x1=6（舍），x2=1+，x3=1﹣，

∴P（1+，﹣5﹣）或（1﹣，﹣5+），

綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為：（2，﹣8），（﹣4，10），（1+，﹣5﹣），（1﹣，﹣5+）．