Question

矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE，點P是AE上的一點，且BP=BE，連接B′P．
（1）求B′D的長；
（2）求證：四邊形BPB′E的形狀為菱形；
（3）若在折痕AE上存在一點到邊CD的距離與到點B的距離相等，請直接寫出此相等距離的值．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
由折疊的性質可得：AB′=AB=5，
在Rt△ADB′中，B′D=

AB′2-AD2

=3；

（2）證明：由折疊的性質可得：BP=B′P，BE=B′E，
∵BP=BE，
∴BP=B′P=B′E=BE，
∴四邊形BPB′E的形狀為菱形；

（3）存在．
∵四邊形BPB′E的形狀為菱形，
∴BE∥B′P，BP=B′P，
∴BC⊥CD，
∴B′P⊥CD，
∴點P到邊CD的距離與到點B的距離相等，
設BP=x，
則B′E=x，
∵B′C=CD-B′D=5-3=2，CE=BC-BE=4-x，
在Rt△B′CE中，B′E²=CE²+B′C²，
∴x²=（4-x）²+2²，
解得：x=2.5，
∴此相等距離的值為2.5．