Question

已知二次函數，其圖像拋物線交軸的于點A（1，0）、B（3，0），交y軸于點C.直線過點C，且交拋物線于另一點E（點E不與點A、B重合）.
(1)求此二次函數關系式；
(2)若直線經過拋物線頂點D，交軸于點F，且∥，則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由.
(3)若過點A作AG⊥軸，交直線于點G，連OG、BE，試證明OG∥BE.

Answer 1

（1）此二次函數關系式為：y=x²-4x+3；
（2）以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形；點E的坐標為（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．
（3）證明見解析．

試題分析：（1）由二次函數y=x²+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），直接利用待定系數法求解即可；
（2）以點C、D、E、F為頂點的四邊形構成平行四邊形，有兩種情形，分類討論即可；
（3）先過點E作EH⊥x軸于點H，設直線CE的解析式為：y=kx+3，然后分別求得點G與E的坐標，即可證得△OAG∽△BHE，則可得∠AOG=∠HBE，即可．
試題解析：（1）∵二次函數y=x²+bx+c，圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴此二次函數關系式為：y=x²-4x+3；
（2）當CD為平行四邊形對角線時，過點D作DM⊥AB于點M，過點E作EN⊥OC于點N，

∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴點D（2，-1），點C（0，3），
∴DM=1，
∵l₁∥l，
∴當CE=DF時，四邊形CEDF是平行四邊形，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠ECN+∠DFM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠ECN=∠FDM，
在△ECN和△FDM中，
，
∴△ECN≌△FDM（AAS），
∴CN=DM=1，
∴ON=OC-CN=3-1=2，
當y=2時，x²-4x+3=2，
解得：x=2±，
∴點E（2+，2）或（2-，2）；
當CD為平行四邊形一條邊時，

則EF∥CD，且EF=CD．
過點D作DM⊥y軸于點M，則DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；
過點E作EN⊥x軸于點N．
易證△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．
∴x²-4x+3=4，
解得：x=2±．
綜上所述，以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形；點E的坐標為（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．
（3）如圖，過點E作EH⊥x軸于點H，

設直線CE的解析式為：y=kx+3，
∵A（1，0），AG⊥x軸，
∴點G（1，k+3），
即OA=1，AG=k+3，
∵E是直線與拋物線的交點，
∴，
解得：，
∴點E（k+4，（k+1）（k+3）），
∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3），
∴，
∵∠OAG=∠BHE=90°，
∴△OAG∽△BHE，
∴∠AOG=∠HBE，
∴OG∥BE．