Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動，已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG，設E點移動距離為x（x＞0）．

（1）△EFG的邊長是 （用含有x的代數式表示），當x=2時，點G的位置在 ；

（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求y與x之間的函數關系式；

（3）探究（2）中得到的函數y在x取何值時，存在最大值？并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）x，D點；（2）y=x2；（3）當x=時，y最大=．

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長是點E移動的距離；根據等邊三角形的三線合一和F點移動速度是E點移動速度的2倍，即可分析出BF=4，此時等邊三角形的邊長是2，則點G和點D重合；

（2）①當0＜x≤2時，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；

②當2＜x≤6時，分兩種情況：當2＜x＜3時和當3≤x≤6時，進行計算；

（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進一步比較取其中的最大值即可．

解：（1）∵點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動，且F點移動速度是E點移動速度的2倍，

∴BF=2BE=2x，

∴EF=BF﹣BE=2x﹣x=x，

∴△EFG的邊長是x；

過D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．

在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC﹣AD=3，

∴DH=CHtan30°=3×當x=2時，BE=EF=2，

∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點H，

∴EH=HF=1

∴DE=DF==2，

∴△DEF是等邊三角形，

∴點G的位置在D點．

故答案為x，D點；

（2）①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內部，所以y=x2；

②分兩種情況：

Ⅰ．當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．

∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x﹣6，

∴GM=（3x﹣6），

由勾股定理得：MN=（3x﹣6），

∴S△GMN=×GM×MN=×（3x﹣6）×（3x﹣6）=（3x﹣6）2，

所以，此時y=x2﹣（3x﹣6）2=﹣；

Ⅱ．當3≤x≤6時，如圖2，點E在線段BC上，點F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC=6﹣x，

∴y=（6﹣x）2=x2﹣x+，

（3）當0＜x≤2時，

∵y=x2，在x＞0時，y隨x增大而增大，

∴x=2時，y最大=；

當2＜x＜3時，∵y=﹣在x=時，y最大=；

當3≤x≤6時，∵y=，在x＜6時，y隨x增大而減小，

∴x=3時，y最大=．

綜上所述：當x=時，y最大=．