Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．動點E、F分別在邊BC和AD上，且AF=2EC．線段EF與AC相交于點G，過點G作GH∥AD，交CD于點H，射線EH交AD的延長線于點M，交AC于點O，設EC=x．
（1）求證：AF=DM；
（2）當EM⊥AC時，用含x的代數式表達AD的長；
（3）在（2）題條件下，若以MO為半徑的⊙M與以FD為半徑的⊙F相切，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用平行線分線段成比例的知識即可得出；
（2）易得

EC

AM

=

CO

AO

，故分別用含AD和x的代數式表示出EC、CO、AM和AO，代入即可得出含x的代數式表達的AD；
（3）結合題意可知，需要分兩種情況來解，一種是外切，另一種是內切；分別根據切線的性質，結合題目，列出方程即可得出x的值．

解答：（1）證明：∵BC∥AD，
∴

EC

AF

=

CG

AG

，

EC

DM

=

CH

DH

，（2分）
∵GH∥AD，

CG

AG

=

CH

DH

，（1分）
∴

EC

AF

=

EC

DM

，
∴AF=DM．（1分）

（2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵BC⊥AB，EM⊥AC，
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

CO

EC

，（1分）
∵EC=x，
∴

6

10

=

CO

x

，
∴CO=

3

5

x，（1分）
∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
∴DM=2EC，
∴DM=2x，
∵EC∥AM，
∴

EC

AM

=

CO

AO

，（1分）
∴

x

AD+2x

=

3 5 x

10- 3 5 x

，
∴AD=

50-9x

3

．（1分）

（3）解：∵EM⊥AC，設AD=a，
∴FD=a-2x，MO=

4

5

(a+2x)，（1分）
FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
當⊙F與⊙M相外切時，FD+MO=FM；
a-2x+

4

5

(a+2x)=a，
解得x=

100

21

，（1分）
∵AD＞BC，即a＞6，
由x=

100

21

，得a=

50

21

＜6，與已知不符，
∴x=

100

21

（舍）；（1分）
當⊙F與⊙M相內切時，|FD-MO|=FM，
①a-2x-

4

5

(a+2x)=a，無解；（1分）
②

4

5

(a+2x)-(a-2x)=a，
解，得x=

25

9

，a=

25

3

，
∵2x＜a，a＞6，
∴x=

25

9

．（2分）
綜上所述，滿足條件的x的值為

25

9

．

點評：本題主要考查了切線的性質以及平行線成比例的知識和解直角三角形等知識，并且要結合實際情況對題目分情況討論和對解的值進行合理的取舍，本題具有一定的難度，請同學們多加分析和理解．