Question

已知兩條直線y=

n

n+1

x+

2

n+1

和y=-

n

n+1

x+

2

n+1

（n為正整數），設它們與x軸圍成的圖形面積為S_n（n=1，2，…，2010），求S₁+S₂+…+S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：觀察兩條直線的解析式發現，兩直線關于y軸對稱，且在y軸上交于一點，與x軸的交點關于原點對稱，根據題意畫出圖形，表示出兩條直線與x軸圍成的面積S_n，利用拆項法把所求式子的每一項變形，抵消后即可求出的值．

解答：解：令x=0，由直線y=

n

n+1

x+

2

n+1

，解得y=

2

n+1

，令y=0，解得x=-

2

n

，
所以該直線與x軸的交點坐標為（-

2

n

，0），與y軸的交點坐標為（0，

2

n+1

）；
令x=0，由直線y=-

n

n+1

x+

2

n+1

，解得y=

2

n+1

，令y=0，解得x=

2

n

，
所以該直線與x軸的交點坐標為（

2

n

，0），與y軸的交點坐標為（0，

2

n+1

），
根據題意畫出圖形，如圖所示：

由圖形可知：△ABC的面積為兩直線與x軸圍成圖形的面積S_n，
所以S_n=S_△ABC=

1

2

|BC|•|OA|=

1

2

×

2 2

n

×

2

n+1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
則S₁+S₂+…+S₂₀₁₀=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

）=2（1-

1

2011

）=

4020

2011

．

點評：此題考查了一次函數與坐標軸的交點求法，以及求一組數的和的方法．借助圖形得到所求的面積即為三角形ABC的面積，表示出S_n是解本題的關鍵，同時注意利用“拆項法”即靈活利用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，把兩直線與x軸圍成的面積S_n進行變形．