Question

【題目】如圖，O為△ABC邊AC的中點，AD∥BC交BO的延長線于點D，連接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：四邊形ABCD為菱形；

（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由ASA證明△OAD≌△OCB得出OD＝OB，得出四邊形ABCD是平行四邊形，在證出∠CBD＝∠CDB，得出BC＝DC，即可得出四邊形ABCD是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)得出OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，由勾股定理得出BC＝＝5，證出△BOC∽△BED，得出，即可得出結(jié)果．

（1）證明：∵O為△ABC邊AC的中點，AD∥BC，

∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，

在△OAD和△OCB中，

，

∴△OAD≌△OCB（ASA），

∴OD＝OB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴BC＝DC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°，

∴BC＝＝5，

∵DE⊥BC，

∴∠E＝90°＝∠BOC，

∵∠OBC＝∠EBD，

∴△BOC∽△BED，

∴，即，

∴DE＝．