Question

【題目】閱讀理解：如果兩個正數a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，當且僅當a＝b時取到等號我們把叫做正數a，b的算術平均數，把叫做正數a，b的幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具．

初步探究：（1）已知x＞0，求函數y＝x+的最小值．

問題遷移：（2）學校準備以圍墻一面為斜邊，用柵欄圍成一個面積為100m2的直角三角形，作為英語角，直角三角形的兩直角邊各為多少時，所用柵欄最短？

創新應用：（3）如圖，在直角坐標系中，直線AB經點P（3，4），與坐標軸正半軸相交于A，B兩點，當△AOB的面積最小時，求△AOB的內切圓的半徑．

Answer 1

【答案】初步探究：（1）4；問題遷移：（2）x＝10m時，y有最小值，即所用柵欄最短；創新應用：（3）R＝2．

【解析】

（1）根據x＞0，令a=x，b=，利用題中的新定義求出函數的最小值即可；
（2）設一直角邊為xm，則另一直角邊為m，柵欄總長為ym，根據題意表示出y與x的函數關系式，利用題中的新定義求出y取得最小值時x的值即可；
（3）設直線AB解析式為y=kx+b，把P坐標代入用k表示出b，進而表示出A與B坐標，確定出OA與OB的長，得出三角形AOB面積，利用題中的新定義求出三角形AOB面積最小時k的值，確定出直角三角形三邊，即可求出三角形AOB內切圓半徑．

解：（1）令a＝x，b＝（x＞0），

由a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，

當且僅當x＝時，即x＝2時，函數有最小值，最小值為4；

（2）設一直角邊為xm，則另一直角邊為m，柵欄總長為ym，

y＝x+，

當且僅當x＝時，即x＝10m時，y有最小值，即所用柵欄最短；

（3）設直線AB的解析式是y＝kx+b，

把P（3，4）代入得：4＝3k+b，

整理得：b＝4﹣3k，

∴直線AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，

當x＝0時，y＝4﹣3k；當y＝0時，x＝，

即A（0，4﹣3k），B（，0），

∴S△AOB＝OBOA＝（4﹣3k）＝12﹣（），

∵要使△AOB的面積最小，

∴必須最大，

∵k＜0，

∴﹣k＞0，

∵=2×6＝12，當且僅當時，取等號，

解得：k＝±，

∵k＜0，

∴k＝﹣，

即OA＝4﹣3k＝8，OB＝6，

根據勾股定理得：AB＝10，

設三角形AOB的內切圓的半徑是R，

由三角形面積公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，

解得：R＝2．