Question

在矩形ABCD中，AB=14，BC=8，E在線段AB上，F(xiàn)在射線AD上．
（1）沿EF翻折，使A落在CD邊上的G處（如圖1），若DG=4，
①求AF的長(zhǎng)；
②求折痕EF的長(zhǎng)；
（2）若沿EF翻折后，點(diǎn)A總在矩形ABCD的內(nèi)部，試求AE長(zhǎng)的范圍．

Answer 1

（1）①設(shè)AF=x，則FG=x，
在Rt△DFG中，
x²=（8-x）²+4²
解得x=5，
所以AF=5．
②過G作GH⊥AB于H，設(shè)AE=y，
則HE=y-4．
在Rt△EHG中，
∴y²=8²+（y-4）²，解得y=10，
在Rt△AEF中，EF=

AF2+AE2

=5

5

，
方法二：連接AG，由△ADG∽△EAF得

DG

AF

=

AD

AE

=

AG

EF

，
所以

AF

AE

=

1

2

．
∵AG=4

5

，AH=2

5

，F(xiàn)H=

5

，
∴AF=5，
∴AE=10，
∴EF=5

5

．

（2）假設(shè)A點(diǎn)翻折后的落點(diǎn)為P，
則P應(yīng)該在以E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑的圓上．
要保證P總在矩形內(nèi)部，CD與圓相離；BC與圓若有公共點(diǎn)，則成為A的落點(diǎn)，
所以BC與圓也要相離，
則滿足關(guān)系式：

AE＜8 14-AE＞AE

，
0＜AE＜7．