Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑OA的長為2，點B是⊙O上的動點，以AB為半徑的⊙A與線段OB相交于點C，AC的延長線與⊙O相交于點D．設線段AB的長為x，線段OC的長為y．

（1）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（2）當四邊形ABDO是梯形時，求線段OC的長．

Answer 1

【答案】（1），定義域為；（2）OC的長為或

【解析】試題分析：由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△OAB，根據相似三角形的性質得出BC，再由OC=OB–BC得出y關于x的函數解析式；（2）由梯形的性質分情況討論：當OD//A B時，由相似三角形對應邊成比例得出AB的值,進而得出OC的長; ②當BD//OA時, 設∠ODA= ,由兩直線平行內錯角相等和等邊對等角得到∠ADB=α,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半得到∠AOB=2α，由三角形外交性質和等邊對等角得到∠OAB＝∠OBA＝,由三角形內角和定理得到∠BOA＝45°，∠BOD=90°，可得BD值，由三角形相似對應邊成比例得y值，進而得到OC長.

試題解析：解：（1）在⊙O與⊙A中，∵OA=OB，AB=AC，∴∠ACB ＝∠ABC=∠OAB．

∴△ABC∽△OAB．

∴，∴，

∴，∵OC=OB–BC，∴y關于x的函數解析式，

定義域為．

（2）①當OD//A B時，∴，∴，

∴，∴，

∴（負值舍去）．

∴AB=，這時ABOD，符合題意.

∴OC=．

②當BD//OA時，設∠ODA= ，∵BD//OA，OA=OD，∴∠BDA=∠OAD=∠ODA= ，

又∵OB=OD，∴∠BOA＝∠OBD=∠ODB＝.

∵AB=AC，OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO＝．

∵∠AOB+∠OAB＋∠OBA=180°，∴，

∴，∠BOA＝45°．

∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，∴BD=. ∵BD//OA，∴．

∴，∴． ．

由于BDOA， 符合題意.

∴當四邊形ABDO是梯形時，線段OC的長為或．

或：過點B作BH⊥OA，垂足為H， BH=OH=，AH=2–，

∴.

∴.