Question

閱讀下面的材料：
小明在學習中遇到這樣一個問題：若1≤x≤m，求二次函數y=x²-6x+7的最大值．他畫圖研究后發現，x=1和x=5時的函數值相等，于是他認為需要對m進行分類討論．
他的解答過程如下：
∵二次函數y=x²-6x+7的對稱軸為直線x=3，
∴由對稱性可知，x=1和x=5時的函數值相等．
∴若1≤m＜5，則x=1時，y的最大值為2；
若m≥5，則x=m時，y的最大值為m²-6m+7．
請你參考小明的思路，解答下列問題：
（1）當-2≤x≤4時，二次函數y=2x²+4x+1的最大值為

49

；
（2）若p≤x≤2，求二次函數y=2x²+4x+1的最大值；
（3）若t≤x≤t+2時，二次函數y=2x²+4x+1的最大值為31，則t的值為

1或-5

．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的對稱軸為直線x=-1，然后確定當x=4時取得最大值，代入函數解析式進行計算即可得解；
（2）先求出拋物線的對稱軸為直線x=-1，再根據對稱性可得x=-4和x=2時函數值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2討論求解；
（3）根據（2）的思路分t＜-2，t≥-2時兩種情況討論求解．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，
∴當-2≤x≤4時，二次函數y=2x²+4x+1的最大值為：2×4²+4×4+1=49；

（2）∵二次函數y=2x²+4x+1的對稱軸為直線x=-1，
∴由對稱性可知，當x=-4和x=2時函數值相等，
∴若p≤-4，則當x=p時，y的最大值為2p²+4p+1，
若-4＜p≤2，則當x=2時，y的最大值為17；

（3）t＜-2時，最大值為：2t²+4t+1=31，
整理得，t²+2t-15=0，
解得t₁=3（舍去），t₂=-5，
t≥-2時，最大值為：2（t+2）²+4（t+2）+1=31，
整理得，（t+2）²+2（t+2）-15=0，
解得t₁=1，t₂=-7（舍去），
所以，t的值為1或-5．

點評：本題考查了二次函數的最值問題，主要利用了二次函數的對稱性，確定出拋物線的對稱軸解析式是確定p和t的取值范圍的關鍵，難點在于讀懂題目信息．