Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與坐標軸交于點A（-1， 0）和點B（0，-5）．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）已知該函數圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最小．請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）點P的坐標為（2，-3）

【解析】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；
（2）設拋物線與x軸的另一交點為C，根據（1）所得的函數解析式即可求得A、B、C的坐標；在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP+BP的長最小；由于A、C關于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點即為所求的P點，可先求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點的坐標．

詳解：（1）根據題意，聯立方程組解得 ，

∴二次函數的表達式為，

（2）令y=0，得二次函數的圖象與x軸

的另一個交點坐標C（5, 0）.

由于P是對稱軸上一點，

連結AB，由于，

要使△ABP的周長最小，只要最小.

由于點A與點C關于對稱軸對稱，連結BC交對稱軸于點P，則= BP+PC =BC，根據兩點之間，線段最短，可得的最小值為BC.

因而BC與對稱軸的交點P就是所求的點

設直線BC的解析式為，根據題意，可得解得

所以直線BC的解析式為

因此直線BC與對稱軸的交點坐標是方程組的解，解得

所求的點P的坐標為（2，-3）