Question

把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF的長均為4。
（1）當EG⊥AC于點K，GF⊥BC于點H時，如圖23-1，求GH:GK的值.
(2)現將三角板EFG由圖23-1所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉,旋轉角滿足條件:
0°<<30°,如圖23-2,EG交AC于點K,GF交BC于點H,GH:GK的值是否改變?證明你的結論.

Answer 1

（1）
（2）證明略

（1）解：∵GE⊥AC于 K，GF⊥BC于H,

∴∠AKG =∠GHB =90°
∵∠ACB =90°
∴GK∥BC……………………………(1分)
∴∠AGK =∠B =30°………………(2分)
∵G與AB的中點O重合
∴AG = GB
∴△AKG≌△GHB……………………(3分)
∴KG = HB……………………………(4分)
在Rt△GHB中，tan∠B =…(5分)
∴……………………………(6分)
(2)GH：GK的值不改變。………………………(7分)
證明：過點G作GP⊥AC于點P，GQ⊥BC于點Q，

∵∠C = 90°
∴四邊形PCQG是矩形……………………(8分)
∴∠PGK+∠KGO = 90°
∵∠EGF = 90°
∴∠HGQ+∠KGQ = 90°
∴∠PGK = ∠HGQ ………………………(9分)
∵∠GPK =∠GQH = 90°
∴△PGK∽△QGH…………………………(10分)
∴由(1)可得：…… (11分)
∴………………………………(12分)