Question

【題目】已知：如圖，二次函數y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），點B（4，0），與y軸的交點為C

（1）求二次函數的關系式；

（2）已知點M是線段OB上一動點，過點M作平行于y軸的直線l，直線l與拋物線交于點E，與直線BC交于點F，連接CE，若△CEF與△OBC相似，求點M的坐標；

（3）已知點M是x軸正半軸上一動點，過點M作平行于y軸的直線l，直線l與拋物線交于P，與直線BC交于點Q，連接CP，將△CPQ沿CP翻折后，是否存在這樣的直線l，使得翻折后的點Q剛好落在y軸上？若存在，請求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）點M的坐標為（，0）或（3，0）；（3）點M的坐標為（，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）理由待定系數法即可解決問題；

（2）法兩種情形①如圖1中，當CE⊥CF時，△CEF∽△OBC．求出直線EC的解析式，利用方程組即可解決問題；②如圖2中，當CE⊥EF時，△EFC∽△OBC．此時E（3，－3），M（3，0）；

（3）分兩種情形．①如圖3中，當點Q′落在y軸的負半軸上時，設P（m， m2－m－3），則Q（m， m－3）．②如圖4中，如圖3中，當點Q′落在y軸的負半軸上時，設P（m， m2－m－3），則Q（m， m－3）．同法可得：PQ＝CQ．分別構建方程即可解決問題．

試題解析：

解：（1）把A（﹣1，0），點B（4，0）代入y＝ax2＋bx﹣3，

得到，解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2－x－3．

（2）①如圖1中，當CE⊥CF時，△CEF∽△OBC．

∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，

∴直線CE的解析式為y＝﹣x﹣3，

由，解得或，

∴點E坐標為（，﹣），M（，0）；

②如圖2中，當CE⊥EF時，△EFC∽△OBC．此時E（3，﹣3），M（3，0）

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（，0）或（3，0）；

（3）存在．①如圖3中，當點Q′落在y軸的負半軸上時，設P（m， m2－m－3），則Q（m， m﹣3）．

∵PQ∥CQ′，

∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，

∴QC＝QP＝﹣m2＋3m，

∵QM∥OC，

∴＝，

∴＝，

解得m＝或0（舍棄），

∴M（，0）；

②如圖4中，如圖3中，當點Q′落在y軸的負半軸上時，設P（m， m2－m－3），則Q（m， m﹣3）．同法可得：PQ＝CQ．

4

∵PQ∥CQ′，

∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，

∴QC＝QP＝﹣m2＋3m，

∵QM∥OC，

∴＝，

∴＝，

解得m＝或0（舍棄），

∴M（，0），

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（，0）或（，0）．