Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=6，∠DCB=60°，∠ABC=90°．等邊三角形MPN（N為不動點）的邊長為a，邊MN和直角梯形ABCD的底邊BC都在直線l上，NC=8．將直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到圖形①，翻折二次得到圖形②，如此翻折下去．
（1）求直角梯形ABCD的面積；
（2）將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2，請直接寫出這時兩圖形重疊部分的面積是多少？
（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，請直接寫出這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？

Answer 1

分析：（1）作DE⊥BC于E．根據解直角三角形的知識求得DE、CE的長，從而求得梯形的面積；
（2）根據兩個角是60°，得重合部分是一個等邊三角形，從而求得重合部分的面積；
（3）如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，利用解直角三角形的知識求得等邊三角形的邊長a至少應為多少．

解答：解：（1）作DE⊥BC于E．
在直角三角形CDE中，CD=6，∠DCB=60°，
∴CE=3，DE=3

3

．
∴BE=5-3=2．
∴直角梯形ABCD的面積=

1

2

（2+5）×3

3

=

21

2

3

．

（2）根據NC=8，2BC=10，得重合的等邊三角形的邊長是2．
則重合部分的面積=

1

2

×2×

3

=

3

．

（3）如圖，MG=3

3

，則a至少應為10．

點評：能夠正確畫出圖形的軸對稱圖形，掌握直角梯形的有關計算方法，熟練運用等邊三角形的判定和性質．