Question

（2010•朝陽區一模）請閱讀下列材料：
問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．?
李明同學的思路是：將△BPC繞點B順時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進而求出等邊△ABC的邊長為，問題得到解決．
請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．?

Answer 1

【答案】分析：（1）參照題目給出的解題思路，可將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，根據旋轉的性質知：
△BPC≌△BP′A，進而可判斷出△BPP′是等腰直角三角形，可得∠BP′P=45°；然后根據AP′、PP′、PA的長，利用勾股定理得到△APP′是直角三角形的結論，可得∠AP′P=90°，即可求得∠BP′A的度數，進而可得∠BPC的度數．
（2）過B作AP′的垂線，交AP′的延長線于E，易知△BEP′是等腰直角三角形，即可得到P′E、BE的長，進而可在Rt△ABE中，利用勾股定理求得正方形的邊長．
解答：解：（1）如圖，
將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=；
連接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，
∵，即AP′²+PP′²=AP²；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）

（2）過點B作BE⊥AP′，交AP′的延長線于點E；則△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；（7分）
∴∠BPC=135°，正方形邊長為．
點評：此題主要考查了正方形的性質、圖形的旋轉變換、勾股定理以及全等三角形等知識的綜合應用，由于題目給出了解題的思路使得此題的難度降低，但是題中輔助線的作法應該牢記．