Question

已知關于x的兩個一元二次方程：

方程①: ;   方程②: .

（1）若方程①有兩個相等的實數根，求解方程②；

（2）若方程①和②中只有一個方程有實數根, 請說明此時哪個方程沒有實數根, 并化

     簡；

（3）若方程①和②有一個公共根a, 求代數式的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵方程①有兩個相等實數根,     

③   ④

    ∴

     由③得k + 2 ¹0,  

     由④得 (k + 2) (k+4) =0.

     ∵ k + 2¹0,

     ∴ k=-4.                                          …………………………1分

     當k=-4時, 方程②為: .    

      解得                    …………………………2分

   （2）由方程②得 2= .

法一2－1＝-(k + 2) (k+4) =3k2＋6k+5 =3(k+1)2＋2>0.

∴ 2>1.                        …………………………………………………3分

 ∵ 方程①、②只有一個有實數根，

 ∴  2>0> 1.

 ∴ 此時方程①沒有實數根.                       ………………………………4分

 由  

 得 (k + 2) (k+4)<0.                              ………………………………5分

 .

 ∵ (k + 2) (k+4)<0,

 ∴ .                     ………………………………6分

 法二: ∵  2=>0.

  因此無論k為何值時, 方程②總有實數根.       …………………………………3分

 ∵ 方程①、②只有一個方程有實數根，

 ∴ 此時方程①沒有實數根.                     …………………………………4分

 下同解法一.

( 3) 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,

    ∴ ;  .  

…………………7分

    ∴ , .

    =2+3=5.                              ……………………………………………8分

                                    

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,

    ∴ ;    ③  .   ④

    ∴（③－④）2得    ⑤

由④得     ⑥                  …………………………7分

將⑤、⑥代入原式，得

原式=

=

=5.                               ……………………………………………8分

 

【解析】略