Question

（2012•福州） 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2

3

，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據切線的性質得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根據兩直線平行內錯角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等邊對等角得到∠2=∠3，等量代換可得出∠1=∠3，即AC為角平分線；
（2）法1：由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數求出∠3的度數為30°，可得出∠1的度數為30°，在直角三角形ACD中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由CD的長求出AC的長，在直角三角形ABC中，根據cos30°及AC的長，利用銳角三角函數定義求出AB的長，進而得出半徑OE的長，由∠EAO為60°，及OE=OA，得到三角形AEO為等邊三角形，可得出AE=OA=OE，即可確定出AE的長；
法2：連接EC，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數求出∠3的度數為30°，可得出∠1的度數為30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用銳角三角函數定義求出AD的長，由∠DEC為圓內接四邊形ABCE的外角，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度數求出∠DEC的度數為60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的長，求出DE的長，最后由AD-ED即可求出AE的長．

解答：解：（1）如圖1，連接OC，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
則AC平分∠DAB；

（2）法1：如圖2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2

3

，∠1=30°，
∴AC=2CD=4

3

，
在Rt△ABC中，AC=4

3

，∠CAB=30°，
∴AB=

AC

cos∠CAB

=

4 3

cos30°

=8，
連接OE，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等邊三角形，
∴AE=OA=

1

2

AB=4；

法2：如圖3，連接CE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2

3

，
∴AD=

CD

tan∠DAC

=

2 3

tan30°

=6，
∵四邊形ABCE是⊙O的內接四邊形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2

3

，
∴DE=

DC

tan∠DEC

=

2 3

tan60°

=2，
∴AE=AD-DE=4．

點評：此題考查了切線的性質，平行線的性質，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，圓內接四邊形的性質，以及圓周角定理，利用了轉化及數形結合的思想，遇到直線與圓相切，常常連接圓心與切點，利用切線的性質得到垂直，利用直角三角形的性質來解決問題．