Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點P從點A出發以每秒2個單位長度的速度沿AD→DC向終點C運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位的速度沿BA向終點A運動，設運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，四邊形PQBC為平行四邊形時？
（2）在整個運動過程中，當t為何值時，以點C、P、Q為頂點的三角形是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，求出PC=BQ就可得到答案．
（2）有兩種情況，根據勾股定理逆定理可求出邊長，進而求出時間．

解答：解：（1）當點P在AD邊上時，PC與BQ不平行，
故此時四邊形PQBC不可能為平行四邊形；      
當點P在DC邊上時，如圖1．
PC=12-2t，BQ=t，
∵四邊形PQBC為平行四邊形，
∴PC=BQ．
∴12-2t=t，t=4．
∴當t=4時，四邊形PQBC為平行四邊形．

（2）作高DE、CF，易求高DE=CF=4，
當t＜

5

2

時，點P在AD上，只有當CP垂直于CQ時以點C、P、Q為頂點的三角形是直角三角形
這時CQ²=4²+（3-t）²=t²-6t+25，
PQ²=（

2t

5

×4）²+（13-t-

2t

5

×3）²=

185t2

25

-

286t

5

+169，
CP²=（4-

2t

5

×4）²+（13-3-

2t

5

×3）²=4t²-

184t

5

+116，
由CP²+CQ²=PQ²得4t²-

184t

5

+116+t²-6t+25=

185t2

25

-

286t

5

+169無解
當t≥

5

2

時，點P在DC上，顯然點Q運動到點F處（此時t=3）
當PQ垂直于AB時，
此時5+7-2t=t-3，
解得：t=5
當PQ垂直于CQ時以點C、P、Q為頂點的三角形是直角三角形（此時無解）
綜上可知，當t=3秒或5秒時點C、P、Q為頂點的三角形是直角三角形．

點評：本題考查等腰梯形的性質，平行四邊形的判定和直角三角形的性質，熟記這些性質和判定進行求解．