Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于P，連接MP．已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為多少；（用含x的代數式表示）
（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；
（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況？寫出你的研究成果．

Answer 1

【答案】分析：（1）P點的橫坐標與N點的橫坐標相同，求出CN的長即可得出P點的橫坐標，然后通過求直線AC的函數解析式來得出P點的縱坐標，由此可求出P點的坐標；
（2）可通過求△MPA的面積和x的函數關系式來得出△MPA的面積最大值及對應的x的值．
△MPA中，MA=OA-OM，而MA邊上的高就是P點的縱坐標，由此可根據三角形的面積計算公式求出S與x的函數關系式，進而根據函數的性質得出S的最大值和對應的x的值；
（3）可分三種情況進行討論：
①MP=AP時，延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA，那么此時有AQ=BN=MA，由此可求出x的值．
②當MP=AM時，可根據MP、AM的不同表達式得出一個關于x的方程即可求出x的值．
③當MP=MA時，可在直角三角形PMQ中，根據勾股定理求出x的值．
綜上所述可得出符合條件的x的值．
解答：解：（1）由題意可知C（0，8），又A（6，0），
所以直線AC解析式為：y=-x+8，
因為P點的橫坐標與N點的橫坐標相同為6-x，代入直線AC中得y=，
所以P點坐標為（6-x，x）；

（2）設△MPA的面積為S，在△MPA中，MA=6-x，MA邊上的高為x，
其中，0≤x＜6，
∴S=（6-x）×x=（-x²+6x）=-（x-3）²+6，
∴S的最大值為6，此時x=3；
（3）延長NP交x軸于Q，則有PQ⊥OA
①若MP=PA，
∵PQ⊥MA，
∴MQ=QA=x，
∴3x=6，
∴x=2；
②若MP=MA，則MQ=6-2x，PQ=x，PM=MA=6-x，
在Rt△PMQ中，
∵PM²=MQ²+PQ²，
∴（6-x）²=（6-2x）²+（x）²，
∴x=；
③若PA=AM，
∵PA=x，AM=6-x，
∴x=6-x，
∴x=，
綜上所述，x=2，或x=，或x=．
點評：本題著重考查了二次函數的應用、矩形的性質、圖形面積的求法等知識點，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．