Question

已知AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為K．現取一塊三角板，把它的一個銳角頂點固定在點C處，該銳角的兩邊（從左到右）與直線AB和圓分別相交于E、F和G、H．
（1）若∠C的一邊過圓心，請選擇圖1或圖2所示，求證：△CEF∽△CHG；
（2）若∠C的邊不過圓心，在圖3中補全一種示意圖，請你觀察所畫的圖形，并判斷（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在已知的兩個三角形中，共用一個角C，又CH為直徑且和AB垂直，所以∠HGC=∠CFE=90°，因此可證明△CEF∽△CHG；
（2）題中結論仍然成立．證明方法與（1）相同．
解答：證明：（1）如圖2，∵CH是圓的直徑，
∴∠CGH=90°．（2分）
∵CD⊥AB，
∴∠CFE=∠CGH=90°．（3分）
∵∠FCE=∠GCH，
∴△CEF∽△CHG．（5分）

（2）答：若∠C的邊不過圓心，（1）中的結論仍然成立（畫圖2分）（8分）
證明：如圖3，當CF交直線AB于圓外時，連接DH，（9分）
由（1）得∠CFE=∠CDH，
∵∠CGH=∠CFE，（11分）
∵∠HCG=∠ECF，
∴△CEF∽△CHG． （12分）
注：下圖供參考．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定．