Question

【題目】某商品現在售價為每件40元，每天可賣200件，該商品將從現在起進行90天的銷售：在第x（1≤x≤49）天內，當天售價都較前一天增加1元，銷量都較前一天減少2件；在x（50≤x≤90）天內，當天的售價都是90元，銷售仍然是較前一天減少2件，已知該商品的進價為每件30元，設銷售商品的當天利潤為y元．

（1）求出y與x的函數關系式；

（2）銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天當天銷售利潤不低于4800元？

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）銷售該商品第45天時，銷售利潤最大，最大利潤為6050元．（3）共有41天當天銷售利潤不低于4800元．

【解析】

（1）根據：總利潤=（售價﹣成本）×銷售量，結合x的取值范圍可列函數關系式；

（2）根據分段函數的性質，可分別得出最大值，比較大小可得答案；

（3）根據二次函數值大于或等于4800，一次函數值大于或等于48000，可得不等式，解不等式即可的x的范圍，可得答案

（1）當1≤x≤49時，當天售價為（40+x）元，出售商品（200﹣2x）件，∴y=（40+x﹣30）（200﹣2x）=﹣2x2+180x+2000；

當50≤x≤90時，當天售價為90元，出售量為（200﹣2x），∴y=（90﹣30）（200﹣2x）=﹣120x+12000；

∴y=．

（2）當1≤x≤49時，y=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∴當x=45時，y取得最大值6050；

當50≤x≤90時，由y=﹣120x+12000知，y隨x的增大而減小，∴當x=50時，y取得最大值6000．

∵6050＞6000，∴銷售該商品第45天時，銷售利潤最大，最大利潤為6050元．

（3）①當1≤x≤49時，﹣2x2+180x+2000≥4800，

解得：20≤x≤70，∴20≤x≤49；

②當50≤x≤90時，﹣120x+12000≥4800，

解得：x≤60，∴50≤x≤60；

綜上：20≤x≤60，∴從第20天起直到第60天止，每天的銷售利潤都不低于4800元，

故共有41天當天銷售利潤不低于4800元．