Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB=8cm，P是AB延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC．
（1）若∠ACP=120°，求陰影部分的面積；
（2）若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M，∠CMP的大小是否發生變化若變化，請說明理由；若不變，求出∠CMP的度數．

Answer 1

分析：解：（1）連接OC．PC為⊙O的切線，由切線的性質知，∠PCO=90度．由已知∠ACP=120°，則有∠ACO=∠ACP-∠OCP=30°，由等邊對等角知，∠A=∠ACO=30度．由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和知，∠BOC=60°，由正切的概念知PC=OCtan60°=4

3

，則陰影部分的面積可由△OCP的面積減去扇形OCB的面積．
（2）由（1）知∠BOC+∠OPC=90°，由角的平分線的性質知∠APM=

1

2

∠APC，由圓周角定理知，∠A=

1

2

∠BOC，
∴∠PMC=∠A+∠APM=

1

2

（∠BOC+∠OPC）=45°．

解答：解：（1）連接OC．
∵PC為⊙O的切線，
∴PC⊥OC．
∴∠PCO=90度．
∵∠ACP=120°
∴∠ACO=30°
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30度．
∴∠BOC=60°
∵OC=4
∴PC=4•tan60°=4

3

∴S_陰影=S_△OPC-S_扇形BOC=8

3

-

8π

3

；

（2）∠CMP的大小不變，∠CMP=45°
由（1）知∠BOC+∠OPC=90°
∵PM平分∠APC
∴∠APM=

1

2

∠APC
∵∠A=

1

2

∠BOC
∴∠PMC=∠A+∠APM=

1

2

（∠BOC+∠OPC）=45°．

點評：本題利用了切線的性質，等邊對等角，三角形的外角與內角的關系，角的平分線的性質，正切的概念，三角形和扇形的面積公式求解．