Question

已知：如圖，⊙O的直徑AD=2，

BC

=

CD

=

DE

，∠BAE=90°．
（1）求△CAD的面積；
（2）求四邊形ABCD區域的面積與⊙O的面積之比（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據等弧所對的圓周角相等，以及直徑所對的圓周角是直角，即可確定△ACD是一個角是30度的直角三角形，利用三角函數即可求得AC，CD的長，從而求得三角形的面積；
（2）過B作BF⊥AC，垂足為F，利用三角形的面積公式即可求得△ABC的面積，則四邊形ABCD的面積即可求得，然后求得圓的面積即可求解．

解答：解：（1）∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°
∵

BC

=

CD

=

DE

，∠BAE=90°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°
∵在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=30°，
∴CD=2sin30°=1，AC=2cos30°=

3

∴S_△ACD=

1

2

AC•CD=

3

2

（2）連接BD，∵AD為直徑，∴∠ABD=90°
又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，
∴∠BDA=30°
∴∠BCA=∠BDA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC
過B作BF⊥AC，垂足為F，
∴AF=

1

2

AC=

3

2

，
∴BF=AFtan30°=

1

2

∴S_△ABC=

1

2

AC•BF=

3

4

∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

3 3

4

∵S_⊙O=π×1²=π，
∴四邊形ABCD區域的面積與⊙O的面積之比=

3 3 4

π

=

3 3

4π

．

點評：本題考查了圓周角定理，正確利用圓周角定理確定△ACD是一個角是30度的直角三角形是關鍵．