Question

【題目】如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣4）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（﹣1，0）和C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y= x2+bx+c向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）將x軸下方的拋物線圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，得到新的函數(shù)圖象C，若直線y=x+k與圖象C始終有3個(gè)交點(diǎn)，求滿足條件的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣4）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（﹣1，0），

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：由（1）知，拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣4= （x2﹣7x）﹣4= （x﹣ ）2﹣ ，

∴此拋物線向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度的拋物線的解析式為y= （x﹣ ）2﹣ ，

再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線y= （x+m﹣ ）2﹣ ，

∴拋物線的頂點(diǎn)P（﹣m+ ，﹣ ），

對(duì)于拋物線y= x2﹣ x﹣4，令y=0， x2﹣ x﹣4=0，解得x=﹣1或8，

∴B（8，0），∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴直線AB的解析式為y=﹣4x﹣4，直線AC的解析式為y= x﹣4，

當(dāng)頂點(diǎn)P在AB上時(shí)，﹣ =﹣4×（﹣m+ ）﹣4，解得m= ，

當(dāng)頂點(diǎn)P在AC上時(shí)，﹣ = （﹣m+ ）﹣4，解得m= ，

∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí) ＜m＜

（3）

解：翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+k知：直線位于l1和l2時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．

①當(dāng)直線位于l1時(shí)，此時(shí)l1過點(diǎn)B（﹣1，0），

∴0=﹣1+k，即k=1．

②∵當(dāng)直線位于l2時(shí)，此時(shí)l2與函數(shù)y=﹣ x2+ x+4（﹣1≤x≤8）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)

∴方程x+k=﹣ x2+ x+4，即x2﹣5x﹣8+2k=0有兩個(gè)相等實(shí)根．

∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k= ．

綜上所述，k的值為1或

【解析】（1）該拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍．（3）先根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖形，然后結(jié)合圖形找出拋物線與x軸有三個(gè)交點(diǎn)的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．